3. כבידה ועקרון השקילות

3. כבידה ועקרון השקילות 3.1 ש דה כבידה עקרון השקילות השפעה גרוויטציונית בין גופים פועלת מרחוק. איך היא מתבצעת? כיצד היא עוברת במרחב? ניוטון לא נתן תשובה פיסיקלית לשאלה זו, והוא שייך אותה לאלוהים. במאה התשע-עשרה הציע פארדי )1791-1867 Faraday,,)Michael בלונדון, מודל שמאפשר להתגבר על הקושי להסבר פעולה מרחוק : פראדי עסק במטענים חשמליים ובכוחות חשמליים, אך אנו נדון במונחים המקבילים מתחום המכניקה - במסות ובכוחות כבידה. במודל של פארדי, גוף )למשל הארץ( יוצר סביבו ש דה, הממלא את המרחב. ש דה זה הוא שמשפיע על גופים אחרים. הגדרת המושג עוצמת שדה כבידה : עוצמת ש דה הכבידה, g, בנקודה מסוימת, מוגדרת כיחס בין כוח הכבידה הפועל על גוף שמוצב בנקודה לבין מסת הגוף. F g g = m בניסוח מתמטי: אופרטיבית, מודדים בעזרת דינמומטר את הכוח המושך את הגוף, ואת תוצאת המדידה מחלקים במסת הגוף. ברור, שכאשר שוקלים מסה בת 1 kg )תרשים 7 א(, מקבלים ישירות את עוצמת הש דה כשווה להוריית הדינמומטר, ואת כיוונו כשווה לכיוון הדינמומטר )תרשים 7 ב(. א. מדידת שדה הכבידה בנקודה A תרשים 7: שדה כבידה בנקודה A ב. ייצוג שדה הכבידה ב- A באמצעות וקטור ניתן, אם כך, לכנות את הדינמומטר בשם "מד-ש דה-כבידה". ביחידות SI ש דה כבידה נמדד ביחידה.N/kg נסרטט בספר זה וקטורים של עוצמת שדה כבידה בצבע סגול. לכל נקודה במרחב אנו מתאימים וקטור המכונה עוצמת שדה הכבידה. האוסף של כל הווקטורים במרחב נקרא שדה כבידה. כיוון שלכל נקודה במרחב מתאים וקטור )ולא סקלר( - שדה הכבידה הוא שדה וקטורי. סימנו עוצמת שדה כבידה באות g, כי תאוצת הנפילה החופשית שווה לעוצמת שדה הכבידה )הראה זאת!(. 1

עקרון השקילות 3.2 עקרון השקילות נתבונן בשני מצבים שבהם אדם נמצא בתוך חללית, ומודד בה את ש דה הכבידה. מצב א : החללית ניצבת על פני הארץ (תרשים 8 א). הוריית הדינמומטר בשקילת גוף שמסתו,1 kg תהיה,10 N כלומר, עוצמת ש דה הכבידה היא.10 N/kg מצב ב : החללית נמצאת במרחק גדול מכל גרם שמיים, והיא מואצת באמצעות מנועי רקטה (תרשים 8 ב) בתאוצה שגודלה ( 10 m/s2 ביחס למערכת ייחו ס שבה מתקיימים חוקי ניוטון). האדם שוקל בתוך החללית משקולת בת 1 ק ג, וכך הוא מודד את ש דה הכבידה בסביבתו. תוצאת השקילה היא.10 N הוא מסיק, כי בחללית ש ורר ש דה כבידה שעוצמתו.10 N/kg ב. בחללית המואצת הרחק מן הכוכבים בתאוצה 10 m/s2 נמדד שדה כבידה א. בחללית הנחה על פני הארץ נמדד שדה כבידה של 10 N/kg של 10 N/kg תרשים :8 ניסויים להמחשת עקרון השקילות 2

נניח שאנו מתקשרים במכשיר קשר לאדם שבחללית, ושואלים אותו באיזה משני המצבים הוא נמצא: מנוחה על הארץ או תאוצה בחלל. האם הוא ידע לענות? ראינו כי שקילה אינה מאפשרת להכריע. נניח כי האדם מנסה לענות על שאלתנו בעזרת ניסוי אחר. הוא משחרר שני גופים שונים A ו- B בו-זמנית מאותו גובה. במצב א )החללית על הקרקע(, שני הגופים מגיעים לרצפת החללית בו-זמנית כי תאוצות שני הגופים שוות. הדבר נובע מכך שהמסה ההתמדית של גוף שווה )ביחידות המתאימות( למסה הכובדית שלו. גם במצב ב )החללית מואצת בחלל( שני הגופים מגיעים לרצפת החללית בו-זמנית, כי רצפת החללית מתקרבת אל שני הגופים באותה תאוצה. כלומר, גם ניסוי זה אינו עוזר לאדם להכריע בשאלת המצב בו הוא נמצא. אפשר להמשיך לחפש הבדלים בין שני המצבים. הם קיימים רק הודות לכדוריות של הארץ; במצב א שני הכדורים מתקרבים מעט זה לזה במהלך נפילתם כי שדה הכבידה של הארץ הוא רדיאלי אך במצב ב הם נופלים במסלולים מקבילים, ההבדלים הם כה קטנים שאפשר להזניח אותם. במובן זה נגביל עצמנו לניסויים "לוקליים" )מקומיים( שבהם ממדי המעבדה קטנים לעומת שינויים בשדה הכבידה במרחב. בהנחה זו אנו יכולים לנסח את העיקרון שאליו הביאה אותנו אי-ההצלחה למצוא הבדל בין שני המצבים בחללית. עיקרון זה מכו נה עקרון השקילות שנוסח לראשונה על-ידי אלברט איינשטיין בשנת 1907. מכאן ועד סוף הפרק אנו יוצאים מהתחום של המכניקה הניוטונית, ומגיעים לפאתי תורת היחסות הכללית. 3 עקרון השקילות Equivalence) :(The Principle of על-ידי ניסויים מקומיים )כלומר, במרחב מספיק קטן( אי אפשר להבדיל בין ש דה כבידה שמקורו במסה לבין ש דה כבידה הנובע מתאוצת המערכת. עקרון השקילו ת, נובע ישירות מהזהות בין המסה האינרציאלית והמסה הכובדית. על כך, בעצם, הסתמכנו כאשר אמרנו ששני הגופים בחללית שעל הארץ מגיעים לרצפת החללית באותו פרק זמן. צופה חיצוני לחללית יודע שמקורו של ש דה הכבידה במצב א הוא כדור הארץ, לכן נכנה ש דה זה "ש דה כבידה שנובע ממקור". במצב ב, הוריית מד-ש דה-הכבידה זהה לזו שבמצב א. לכן, הצופה החיצוני יוכל לומר כי בחללית ש ורר ש דה כבידה, הנובע מכך שהחללית מואצת. אם לצופה שבתוך החללית אין דרך להבחין )על-ידי מדידות( בין שני סוגי הש דות, אזי הם מהווים את אותה ישות פיסיקלית. את ש דה הכבידה במצב ב מכנים בשם "ש דה כבידה אקוויולנטי" )גם השם "ש דה כבידה מושרה" מקובל(. מהדיונים בשני המצבים נוכל להסיק כי: קביעת שדה הכבידה האקוויולנטי: g, eq מנוגד לכיוו ן התאוצה, וגודלו שווה לגודל התאוצה. כיוו נו של ש דה הכבידה האקוויולנטי, )2( g eq בלשון מתמטית: a = נזכיר שוב שעקרון השקילו ת עוסק בניסויים מקומיים. כאשר מקורו של ש דה הכבידה בגוף חומרי, הוא משתנה ממקום למקום במרחב, ואילו הש דה ה"מושרה" הוא הומוגני במערכת המואצת. נדגיש כי במקרים רבים מודדים שדה כבידה שהוא צרוף של שדה כבידה שנובע ממקור ושדה כבידה מושרה, ואי אפשר למדוד כל שדה בנפרד.

עקרון השקילות 3.3 היחסיות של שדה הכבידה ושל מונחים הנגזרים ממנו א. היחסיות של שדה הכבידה נדגים בעזרת כמה דוגמאות את ההשלכות של עקרון השקילות על תיאור של מערכות פיסיקליות. דוגמה :1 צופה A נח ביחס לרצפה בתוך בניין, וצופה B נמצא במעלית המו אצת מטה ביחס לרצפה. נניח שש דה הכבידה נמדד על - ידי שני צופים, הקובעים שתי מערכות ייחוס : צופה A נח ביחס לרצפה, הוא מודד ש דה כבידה שעוצמתו ga = 10 N/kg וכיוו נו ניצב לרצפה. צופה B 8N 2kg 1kg 16N ג gb=8n/kg צופה A geq=2n/kg 2kg 20N 10N geq=2n/kg 1kg ב ab,a=2m/s2 ga=10n/kg תרשים :9 שני צופים המואצים האחד ביחס לאחר מודדים, באותה סביבה, ערכים שונים של ש דה כבידה 4 ga=10n/kg א

a,b A בכיוו ן לרצפה )תרשים 9(. צופה B נמצא בתוך במעלית המו אצת ביחס לקרקע בתאוצה שגודלה = 2 m/s 2 g B )נניח שהמדידות מתבצעות באותה סביבה במרחב(. הוא מודד ש דה כבידה שעוצמתו = 8 N/kg א. כיצד יסביר צופה A את תוצאת המדידה במעלית? ב. כיצד מסביר צופה B את תוצאת המדידה של צופה A? פתרון: א. הסבר בדרך אחת: מסת המשקולת שווה ל- kg 1, והיא מואצת כלפי מטה בתאוצה של 2. m/s 2 צופה A רושם את החוק השני של ניוטון עבור המשקולת התלויה על הדינמומטר במעלית, מסמן ב- T את מתיחות החוט g A כפי שהוא מודד: הקושר את המשקולת לדינמומטר ומציב בחוק השני של ניוטון = 10 N/kg ΣF y = ma y mg A T = ma A 1 10 T = 1 2 T = 8 N לכן, הדינמומטר במעלית מורה 8. N/kg g. A המעלית מואצת הסבר בדרך אחרת: כידוע לצופה A, עוצמתו של ש דה הכבידה היא = 10 N/kg a. B,A לכן, על-פי עקרון השקילות, בתוך המעלית שורר גם ש דה כבידה אקוויולנטי, בתאוצה של = 2m/s 2 g. eq לכן, גודלו של ש דה הכבידה הנמדד במעלית הוא שכיוו נו מנוגד לתאוצה, כלומר כלפי מעלה, וגודלו = 2 N/kg g, B וכיוו נו כלפי מטה, וזה מה שמודד צופה B כאשר הוא שוקל את המשקולת. = 8 N/kg a. A,B צופה B רושם את החוק ב. הסבר בדרך אחת: המשקולת שבידו של צופה A מואצת בתאוצה של = 2 m/s 2 g, B כפי שהוא מודד: השני של ניוטון לגבי משקולת זו, כשהוא מציב = 8 N/kg ΣF y = ma y T mg B = ma B T 1 8 = 1 2 T = 10 N.g A הוא מסיק, שצופה A מודד עוצמת שדה שגודלה = 10 N/kg g. B צופה A מואץ בתאוצה הסבר בדרך אחרת: כידוע לצופה B, עוצמתו של ש דה כבידה הוא = 8 N/kg a A,B כלפי מעלה. לכן, על-פי עקרון השקילות, צופה A נמצא בתוך ש דה כבידה אקוויולנטי, שכיוו נו = 2 m/s 2,g A וזה = 10 N/kg לכן, גודלו של השדה השקול הוא g. eq מנוגד לתאוצתו, כלומר כלפי מטה, וגודלו = 2 N/kg מה שמודד צופה A כאשר הוא שוקל את המשקולת. עתה נוכל לסכם: ש דה כבידה הוא גודל יחסי. כלל טרנספורמציה לגבי ש דה כבידה: a B, A g, A במערכת ייחוס הצמודה לגוף A. נניח כי גוף B נע בתאוצה נניח כי בנקודה כלשהי נמדד ש דה כבידה, ביחס לגוף A. על-פי עקרון השקילות, ש דה הכבידה ביחס לגוף B הוא: (3) g B = g A a B,A 5

,g B a B,A ביחס אלינו, אז שדה הכבידה, g, A ואנו רואים גוף B נע בתאוצה כלומר אם אנו, גוף A, מודדים שדה כבידה ביחס לגוף B נתון על ידי קשר )3(. קשר )3( הוא כלל טרנספורמציה לגבי ש דה כבידה. ב. המושג משקל נפנה עתה להגדרת מוש גים נגזרים מהמוש ג ש דה כבידה. אחד מהם הוא המשקל. לאור הנאמר על השדה השקול של הכבידה, נחדד את הגדרת המוש ג משקל, שאותה הצגנו בפרק ג: הגדרת המושג משקל : g, A כפי שנמדד w, A של גוף ביחס למערכת ייחו ס A, מוגדר כמכפלת מסת הגוף m, בש דה הכבידה משקל, ביחס למערכת ייחו ס זו. )4( w A = mg A בלשון מתמטית: במילים אחרות משקל הוא כוח הכובד, שמקורו בשדה הכבידה הכולל. אם גוף נמצא על הארץ, ואפשר להזניח את שדה הכבידה הקשור לתאוצה הצנטריפטלית הנובעת מסיבוב הארץ, אז משקל הגוף שווה לכוח הכובד של הארץ. כפי שראינו, עוצמת ש דה הכבידה, g, היא גודל יחסי, לכן גם משקל הוא גודל יחסי, בדומה לקואורדינטה, מהירות ותאוצה. כאשר משקל מוגדר באופן אופרטיבי כמתואר לעיל, התשובה לשאלה מהו משקל היא פשוטה: משקל הוא תוצאה של שקילה )תקנית, כמובן(. המכשיר למדידת משקל הוא מאזניים הנחים ביחס למערכת ייחוס. למשל בדוגמה )1(,w A ומשקלה = mg A לעיל: כאשר מסתה של משקולת היא,m = 2 kg משקלה ביחס לצופה = 20 N :A 10 2 = w B )ראה תרשים.)9 = mg B ביחס לצופה = 16 N :B 8 2 = ג. חוסר משקל נניח שכבל המעלית נקרע )יש לנו עניין במצב זה רק מבחינה מדעית, כמובן(. מצב העניינים במעלית מתואר סכימתית בתרשים 10. בתוך המעלית הנופלת, ש דה הכבידה הנמדד שווה לאפס )הראה זאת!(. מצבו של גוף במצב זה מכו נה "חוסר משקל".(weightlessness) חוסר משקל אומר מפורשות שהמשקל שווה לאפס, או שש דה הכבידה )הכולל!( שווה לאפס, אך הוא אינו אומר שש דה הכבידה שמקורו בכדור הארץ שווה לאפס. הוריית מאזניים בתוך המעלית הנופלת חופשית תהיה אפס. והעיקר: תחושת הכובד של האדם בתוך המעלית תעדר לחלוטין. זהו חוסר משקל מוחלט. גוף האדם אינו מעיק על הרצפה, וכך כל איבריו הפנימיים יצופו ללא לחץ האחד על האחר. מצב זה בדיוק קיים גם בלוויין המקיף את כדור הארץ, כפי שידון בפרק י א. 6

צופה B 2kg 0N g B,A ג =0 g eq =10N/kg צופה A ב א a B,A =10m/s 2 10N 1kg g A =10N/kg תרשים 10: צופה על הקרקע וצופה במעלית הנופלת חופשית אפשר להדגים מצב של חוסר משקל כך: מנקבים בבקבוק של משקה קל שני נקבים: נקב אחד סמוך לקרקעית הבקבוק, ונקב אחר סמוך לצוואר הבקבוק. מוזגים לבקבוק מים, כך שפניהם יהיו בין שני הנקבים. כאשר מחזיקים את הבקבוק ביד - מים פורצים החוצה דרך הנקב התחתון, ואוויר נכנס לבקבוק דרך הנקב העליון )תרשים 11 א(. אולם, כאשר זורקים את הבקבוק - בתוך הבקבוק נוצר מצב של מצב חוסר משקל; כל עוד הוא נע באוויר, אף טיפת מים אחת אינה פורצת החוצה מהבקבוק )תרשים 11 ב(. אנו מפרשים תופעה זו כעדות לכך שש דה הכבידה הכולל בתוך הבקבוק שווה לאפס, לכן הלחץ ההידרוסטטי של המים הוא אפס, והמים אינם פורצים החוצה. 7

עקרון השקילות א. המים פורצים דרך הנקב תרשים :11 המים בבקבוק בשני מצבים שונים ב. המים חסרי משקל תרשים 12 הוא תצלום של אסטרונאוטית המתאמנת בהסתגלות למצב של חוסר משקל. את מצב חוסר המשקל יוצרים כך : מפסיקים את פעולת מנועיו של מטוס הטס בגובה רב. המטוס ממשיך לטוס בכיוון אופקי, אך בכיוון אנכי הוא נופל בתאוצה.g גם מי שנמצא בתוך המטוס נופל בתאוצה,g לכן ביחס למטוס הוא נמצא במצב של חוסר משקל. תרשים :12 אסטרונאוטית חסרת משקל (באדיבות - NASA סוכנות החלל האמריקנית) אברהם פייס מצטט את איינשטיין, שהתבטא לאחר שהוא הבין ששדה כבידה הוא גודל יחסי :... there occurred to me... the happiest thought of my life.... the gravitational field has only a relative existence.... because for an observer falling freely... there exists... no gravitational field הציטוט הוא מהספר Subtle is the Lord מאת,A. Pais בהוצאת,Oxford, Un. Pr., UK בעמוד.178 8

דוגמה 2: צופה א ניצב על הקרקע, וצופה ב נמצא במכונית המואצת ביחס לקרקע g, A וכיוו נו ניצב לקרקע )תרשים 13(. צופה A ניצב על הקרקע, מודד את ש דה הכבידה, ומוצא שגודלו = 10 N/kg a, B,A וכיוו נה ימינה. צופה B נמצא במכונית המואצת ביחס לצופה A, בתאוצה שגודלה = 3 m/s 2 g, B ביחס לצופה B הנע עם המכונית? מהו ש דה הכבידה, פתרון: עתה יש לנו כבר שתי דרכים לענות על השאלה: 1. לבקש מצופה B למדוד עבורנו את ש דה הכבידה סביבו. 2. להשתמש בטרנספורמציה לגבי ש דה כבידה )קשר )4((. g A )תרשים.)13 צופה נבחר בדרך השנייה. כאמור, ש דה הכבידה הנמדד ביחס לצופה A הוא = 10 N/kg a, B,A וכיוו נה ימינה. לכן, גודלו של ש דה הכבידה האקוויולנטי הוא = 3 כאמור, נע בתאוצה שגודלה m/s 2,B g B הוא ש דה g B כאשר = g A a B, A g, eq וכיוו נו ש מאלה )תרשים 13(. כלל הטרנספורמציה אומר: = 3 N/kg הכבידה במכונית. בתרשים 13 הובא הייצוג הגאומטרי של כלל הטרנספורמציה. צופה B 2kg 10.4N 16.7 20.8N 1kg ג g B =10.4N α g A =10N/kg g eq =3N/kg a B,A =3m/s 2 צופה A ב g eq =3N/kg 10N 1kg g A א =10N/kg תרשים 13: צופה על הקרקע וצופה במכונית מואצת 9

g = g 2+ (- a 2) = 102+- ( 3) 2 & g = 10.4 N/kg B ab,a tanα= = 10 3 & α. 16.7% g A B גודל ש דה הכבידה הנמדד במכונית: כיוו ן ש דה הכבידה ביחס לאנך לרצפת המכונית:.w A משקלה = mg A אם מסתה של משקולת היא,m = 2 kg משקלה ביחס לצופה A יהיה: = 20 N 10 2 = w B = mg B ביחס לצופה = 20.8 N :B 10.4 2 = נדגיש כי השקילה היא תיקנית רק כאשר המאזניים יוצבו כך שפניהם יהיו ניצבים לכיוו ן ש דה הכבידה השקול. נגדיר עתה שלושה מוש גים נוספים. 10 הגדרת המושג כיוון מטה : הכיוון מטה במערכת מסויימת הוא כיוון שדה הכבידה הנמדד במערכת זו. נדגיש כי כיוון מטה הוא מושג מקומי. ברור ש"כיוו ן מעלה" הוא הכיוו ן המנוגד ל"כיוו ן מטה". ברור גם ש"מישור אופקי" הוא המישור המאונך ל"כיוו ן מטה". כל אלה הם מושגים המוגדרים באופן אופרטיבי על-ידי משקולת תלויה על חוט ועל-ידי פלס מים. כך, כל צופה יכול לקבוע במדויק את הכיוו ן מטה על-ידי תליית משקולת בקצה חוט. מתקן זה מכו נה אנך בנאים. כיוו ן זה הוא, כמובן, גם הכיוו ן שעליו יורה דינמומטר במנוחה בזמן שקילה. כיוו ן מטה ביחס לצופה A העומד על הקרקע בדוגמה 2, הוא כיוו ן ש דה הכבידה הנמדד על-ידו, כיוון כלפי הקרקע ובניצב לה. לעומת זאת, ביחס לצופה B, הנמצא בתוך המכונית, הכיוו ן מטה הוא כיוו ן ש דה הכבידה שנמדד גם הוא בעזרת אנך בנאים שהוא מחזיק ביד, שהוא גם הכיוו ן שלאורכו נמצא גופו של צופה B )תרשים 13(. כיוו ן זה שונה מהכיוו ן מטה הנמדד על-ידי צופה A. גם בלון הליום, הקשור לרצפת מכונית, ימתח את החוט בכיוון מנוגד לכיוון שדה הכבידה שבמכונית, ולשם כך יצטרך לסטות בניגוד לסטיית אנך בנאים. הוא ינוע בכיוו ן "מעלה" בתוך המכונית )תרשים 13(. תצפית פשוטה בבלון שניקח איתנו למכונית )סגורה( תראה שאנו צודקים בחיזוי זה. כאשר המכונית בולמת או מואצת, הבלון ינוע בכיוו ן מנוגד לתנועת החפצים הכבדים הזזים בתוך המכונית. בדרך זו נוכל להבין גם את ההתנהגות של הפלס במכונית המואצת. אם נשים פלס על רצפת המכונית המואצת, בועת האוויר תנוע ימינה )הנוזל בפלס ינוע בכיוון מנוגד לכיוון התאוצה(, והפלס לא יהיה מאוזן. אם נכוון פלס בכיוון מאונך לשדה הכבידה הנמדד, תתייצב בועת אוויר באמצע הצינורית; הפלס מאוזן. כאשר הפלס מאוזן, כיוונו מראה את המישור האופקי בתוך המכונית. אם צופה B יפיל מטבע - המטבע יפול מטה, בקו ישר, בדיוק בכיוו ן ש דה הכבידה הנמדד במכונית, שהוא כיוון החוט עם המשקולת. ביחס לצופה A, המטבע ינוע בקו נטוי.